1. 基础公式

\sin0 = 0，\cos0 = 1;

\ln1 = 0，\ln e = 1，e^0 = 1.

2. 极限
  • 极限公式

\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin\,x}{x} = 1 ；
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{x}\right)^x = e ，\lim\limits_ {x \rightarrow 0} (1+x)^ \frac{1}{x} = e ;
\lim\limits_ {x \rightarrow 0} (1+ax)^\frac{b}{x} = e^{ab}，\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}.

  • 无穷公式

\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a}{b} = 0，a是b的高阶无穷小
\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a} {b} = \infty，a是b低价无穷小；
\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a} {b} = 1，a是b等价无穷小；
\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a} {b} = m \neq 1，a是b同价无穷小。

3. 导数
  • 导数公式

(c)' = 0 \,(c为常数)， (x^a)' = ax^{a-1} \,(a为实数);
(a^x)' = a^x\ln a ，(e^x)' = e^x ；
(\log x)'= \frac{1}{x\ln a} ， (\ln x)' = \frac{1}{x} ；
(\sin x)' = \cos x ，(\cos x)' = -\sin x ；
(\tan x)'=\frac{1}{\cos ^2 x}=\sec^2 x，(\cot x)'=- \frac{1}{\sin ^2 x}=- \csc ^2 x ；
(\sec x)' = \sec x \tan x ， (\csc x)' =- \csc x \cot x；
(\arcsin x)'=\frac{1} {\sqrt{1-x^2}} ， (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ；
(\arctan x)' = \frac{1} {1+x^2}，(arccot x)' = {-\frac{1}{1+ x^2}}.

  • 四则运算
    设u = u(x),v = v(x)在点x处可导，则：

(cu)' = cu' \,(c为常数)， (u \pm v)' = u' \pm v' ;
(uv)' = u'v + uv'，\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \,(v\neq0).

  • 复合求导

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}·\frac{du}{dx} = f'(u)·g'(x)

4. 微分
  • 微分公式

d(c) = 0 \,(c为常数)， d(x^a) = ax^{a-1}dx \,(a为实数);
d(a^x) = a^x\ln a dx，d(e^x) = e^xdx ；
d(\log_x) = \frac{1} {x\ln a}dx ， d(\ln x)= \frac{1}{x}dx ；
d(\sin x) = \cos xdx ，d(\cos x) = -\sin x dx ；
d(\tan x) =\frac{1} {\cos ^2 x}dx =\sec^2 xdx，d(\cot x) =- \frac{1} {\sin ^2 x}dx=- \csc ^2 x dx；
d(\sec x) = \sec x \tan x dx， d(\csc x) =- \csc x \cot xdx ；
d(\arcsin x) =\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}dx ， d(\arccos x)={-\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}}dx ；
d(\arctan x) = \frac{1} {1+x^2}dx，d(arccot x) = {-\frac {1} {1+x^2}}dx.

  • 四则运算
    设u = u(x),v = v(x)可微分，则：

d(cu) = cdu \,(c为常数), d(u \pm v) = du \pm dv ,
d(uv) = vdu + udv, d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv} {v^2} \,(v\neq0).

  • 复合求导

dy=y'_udu = y'_xdx

5. 洛必达法则

\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)} {F(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac {f'(x)} {F'(x)}= \frac {f'(x_0)} {F'(x_0)},(其中 \frac {f(x)} {F(x)} = \frac {0} {0} 或 \frac {\infty} {\infty})

6.切线方程
  • 斜率

k=f'(x_0), k_{切}·k_{法} =-1;

  • 点斜式

y-y_0 = k(x-x_0)，k为斜率，(x_0,y_0)为切点

  • 一元二次方程式

ax^2+bx+c=0, x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

  • 切线方程式
    曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程：

y-f(x_0) =f'(x_0)(x-x_0)

  • 法线方程式
    当f'(x_0)\neq0时，法线方程：

y-f(x_0) =- \frac {1}{f'(x_0)}(x-x_0)

7. 不定积分
  • 基本公式

\int {0}·dx = C, \int{k} dx = kx + C, \int {x^n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C(n\neq-1) ,\int {\frac{1}{x}dx} = \ln |x|+C , \int {a^x}dx = \frac{1}{\ln a}a^x +C, \int {e^x}dx = e^x +C, \int {\sin x}dx = -\cos x+C, \int {\cos x}dx = \sin x+ C, \int {\frac{1}{\cos ^2 x}}dx = \tan x+C, \int {\frac{1}{\sin ^2 x}}dx = -\cot x+C, \int {\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \arcsin x+C,\int {\frac{1} {1+x^2}}dx = \arctan x+ C .

  • 分部积分公式

\int uv'dx = uv- \int u'vdx

8. 定积分

\int _{a}^{b}f(x)dx = F(x) | _{a}^{b} = F(b)-F(a)

  • 分部积分公式

\int _{a}^{b}uv'dx = uv | _{a}^{b} - \int _{a}^{b} u'vdx

9. 变上限积分

y= F(x) = \int _{a}^{x}f(t)dt , F'(x) = f(x)